උදාහරණයක් විදිහට 5 + 12i හි වර්ගමූල ගැන කතා කරද්දී √(5+12i) විදිහට තමයි ලියන්නෙ ඒත් උත්තර දෙකක් තියෙනවා, ඒ වුනාට ඒ උත්තර සමාන වෙන්න ඕන කියලා නීතියක් තියෙනවාද ? අවශ්‍ය වන්නේ ඒ උත්තර වර්ග කරපුවාම 5+12i ලැබීම පමණක් නෙවෙයිද? මෙතන වෙන්නෙ සියලුම වර්ගමූල සඳහා පොදු සංකේතයක් විදිහට √(5+12i) යොදා ගන්න එක නෙවෙයිද?

ගණිතයෙදී පැහැදිලි කිරීම් කරන්නෙ තෝරා ගන්නෙ කිසියම් රාමුවකට සාපේක්ෂවයි. උදාහරණයක් විදිහට අපි උසස් පෙළට ගෝලයක් දකින විදිහට වඩා වෙනස් topology වලදී ඕක විස්තර කරන විදිහ වෙනස් .  උසස් පෙළ රාමුව තුළ ඉඳලා බැලුවොත් ශුන්‍ය මාන අවකාශයක් තුළ තියෙන්නේ එක ලක්ෂයක් පමණයි. ඒත් ත්‍රිමාන අවකාශය තුළ ලක්ෂ, ද්වීමාන වස්තුන්, ත්‍රිමාන වස්තූන් අපරිමිත සංඛ්‍යාවක් පැවතිය හැකියි. ශුන්‍ය  මාන අවකාශයක් තුළින් සරල රේඛාවක් ( ඒක මාන වස්තුවක්) යැවීමේදී ඒක නිරීක්‍ෂණය වෙන්නේ ලක්ෂයක් කාලයේ ශ්‍රිතයක් විදිහට හරියට ත්‍රිමාන අවකාශයක්  තුළ චතුර්මාන වස්තුවක් කාලයට සාපේක්ෂව පැහැදිලි කරනවා වාගේ.  මම හිතන්නේ මේ අදහස් දැක්වීම නිවැරදි කරන්න නැත්නම් තහවුරු කරන්න තවත් උදවිය ඉදිරිපත් වීම ඉතාමත් වැදගත්.

Since L’hopital’s theorem is not relevant to our local advanced level syllabus, I would like to suggest following approach,

x^(1/x) = e^(ln(x^(1/x))) = e^( (lnx)/x)  ___ (1)

Therefore you have to find limit of (lnx)/x

0 < lnx < x and x – lnx is increasing function as x increases without bound when x > 1 . ( by differentiating x – lnx you can easily prove that)

Therefore 0 < (lnx)/x <1 and since x – lnx is increasing function (lnx )/x must be decreasing function as x increases and that implies limit of (lnx)/x as x tends to infinity should be 0 .

Now you can substitute the result to equation (1) and it gives the limit e^0 that is 1.

As an alternative approach you can use the substitution lnx = t and prove that the limit of (lnx)/x as x tends to infinity is equal to the limit of t/( e^t) as t tends to infinity and the result is same.

සා.පෙ. මට්ටමේදී අර්ථ විරහිත කියලා දෙයක් විෂය නිර්දේශය තුළ තියෙනවාද කියන එකත් වැදගත්. මොකද අපේ රටේ ගණිත අධ්‍යාපනය ලෝකයේ දියුණු රටවල් එක්ක සසඳද්දී තාමත් ප්‍රාඨමිකම මට්ටමේ තියෙන්නේ. යාවත්කාලීන වීම ඉතාමත් මන්දගාමී.